「0,1,2,3,4の数字を使って3桁の整数を作る場合の数は？」
この手の問題で、答えが合わない人は多いです。
原因はほとんど1つ。
0を先頭（最高位）に置いてしまい、通常の順列の式をそのまま使ってしまうことです。
結論から言うと、解き方はシンプルです。
先頭の位だけ「0を除いた選択肢」で先に決め、残りの位はいつも通りの順列で計算する。
この記事では、この手順を3桁・4桁の具体例で数式ごと追いながら解説します。
数的処理の『場合の数』でつまずいている人は、最後まで読めば同じ考え方で類題も解けるようになります。
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0を含む数字で整数を作る場合の数の基本ルール
0を含む数字カードから整数を作る問題では、次の1点だけを押さえれば解けます。
先頭の位（最高位）には0を置けないという制約です。
理由は単純で、先頭が0になると、その並びは整数として成立しないからです。
例えば「042」は3桁の整数ではなく「42」という2桁の数になってしまいます。
この制約があるため、先頭の位と、それ以外の位では選べる数字の個数が変わります。
先頭の位は0を除いた個数から選び、残りの位は0を含めた個数から順に選んでいく。
この2段階に分けて計算するのが、0を含む場合の数の基本ルールです。
こちらの記事で順列・組み合わせの基本を先に確認しておくと、以下の解説がより理解しやすくなります。
松尾講師なぜ0は最高位に置けないのか
0が最高位に置けない理由を、順を追って見ていきましょう。
樹形図で見る先頭だけ特別な理由
コム大の講座では、場合の数の計算はすべて樹形図がベースだと位置づけています。
公式を先に覚えるのではなく、まず並べ方を樹形図で書き出して数える。
計算式はその樹形図を数式に置き換えたものにすぎない、という考え方です。
この視点で0を含む整数作りを見ると、先頭だけが特別な理由がわかります。
先頭の位から樹形図を伸ばすとき、0を選んだ枝は「整数として成立しない並び」になります。
つまりその枝は最初から数える対象にならないのです。
2番目以降の位から伸びる枝には、この制限がありません。
0を選んでも、上の位がすでに0以外で確定しているため、整数として問題なく成立します。
先頭の位だけ枝の本数が1本少ない。
これが、先頭だけ特別な扱いになる正体です。
0を含めたままnPrを使うありがちな失敗
この問題でよくあるミスは、0を含めた個数のままnPrの公式に当てはめてしまうことです。
例えば0,1,2,3,4の5個の数字から3桁の整数を作る場合、5P3をそのまま計算してしまうケースがあります。
この計算だと、先頭が0になる並びまで数に含んでしまい、答えが実際より多くなります。
こうしたミスは、公式を先に覚えて数字を当てはめる解き方をしたときに起きやすい傾向があるでしょう。
樹形図で「先頭に0が来た瞬間、その枝は消える」というイメージを持っておくと、公式を当てはめる前に気づけるでしょう。
計算前に「先頭の位で0が選べるかどうか」を必ず確認する習慣をつけておくと、防げるミスです。
松尾講師先頭の位を先に決めて残りを計算する解き方
ここからが本題です。
0を含む整数作りは、次の2ステップで計算します。
- 先頭の位を、0を除いた数字の中から先に決める
- 残りの位を、0を含めた残りの数字で通常の順列として計算する
この手順を、桁数を変えた具体例で確認していきましょう。
3桁の整数を作る場合の計算例
0,1,2,3,4の5個の数字を使って、異なる3桁の整数を何通り作れるか考えます。
まず先頭の位です。
0を除いた1,2,3,4の4個の中から選ぶので、選び方は4通り。
次に、残りの2つの位です。
先頭で1個使っているため、残りは4個の数字から2個を選んで並べる計算になります。
これは4P2で、4×3＝12通り。
先頭の4通りと、残りの12通りをかけ合わせます。
4×12＝48。
0,1,2,3,4から作れる3桁の整数は「48通り」です。
4桁の整数を作る場合の計算例
同じ0,1,2,3,4の5個の数字で、今度は4桁の整数を作る場合を見てみましょう。
手順は3桁のときとまったく同じです。
先頭の位は、0を除いた1,2,3,4の4個から選ぶので4通り。
残りの3つの位は、先頭で1個使った後の4個の数字から3個を選んで並べます。
4P3で、4×3×2＝24通り。
先頭の4通りと残りの24通りをかけ合わせると、4×24＝96。
4桁の整数は「96通り」できることがわかります。
桁数が増えても、先頭を先に決めてから残りを計算するという流れは変わりません。
こちらの記事では、選び方と並べ方をどう見分けるかを扱っています。
あわせて確認しておくと、類題への対応力がさらに上がります。
松尾講師公務員試験での出題パターンと時間配分の目安
0を含む整数作りは、場合の数の基本的な出題パターンの1つです。
単独の設問として問われるだけでなく、確率や整数問題の前提知識として使われることもあります。
数的処理は限られた試験時間の中で多くの問題をさばく必要がある科目です。
そのため、この種の計算問題は本番で悩まずに素早く処理できる状態にしておくことが望ましいといえます。
ただし、必要な時間は問題の出し方や年度によって変わるため、ここでの説明はあくまで考え方の目安として捉えてください。
本番で焦らず解くためには、先頭だけ先に決めるという手順を、考えなくても手が動くレベルまで練習しておくことが有効です。
類題を繰り返し解いて、この2ステップを体に染み込ませておきましょう。
重複順列や分配問題など、場合の数の他のパターンについてはこちらの記事でも解説しています。
松尾講師まとめ
0を含む数字から整数を作る問題は、先頭の位だけ0を除いて先に決めます。
残りの位は通常の順列で計算する、という2ステップで解けます。
樹形図でイメージすると、先頭だけ枝が1本少なくなる理由も納得しやすくなるはずです。
3桁・4桁と桁数を変えても手順は同じなので、同じ流れで類題に取り組んでみてください。
こうした基本パターンを1つずつ確実に押さえていくことが、数的処理全体の得点力につながります。
コム大では、数的処理を含む講座を無料のライブ授業やセミナーで定期的に開催しています。
過去には計算パターンの整理や時間配分のコツなど、独学では気づきにくいポイントも直接解説してきました。
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