「場合の数」の問題で、順列と組合せのどちらを使うべきか迷ったことはありませんか。
公式は覚えたはずなのに、問題文を読んだ瞬間に判断できず、時間だけが過ぎていく。
そんな経験がある人も多いはずです。
結論から言うと、判定基準はただひとつです。
選んだ結果の順序が答えに影響するかどうか、これだけを問題文に当てはめれば、順列と組合せは瞬時に見分けられます。
この記事では、問題文の言い回しから判定する具体的なコツと、講師が使うAND/OR判定の考え方を解説します。
想定読者は、数的処理の「場合の数」でつまずいている受験者。
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順列と組合せの違いを一言で言うと
順列と組合せの違いは、公式の使い分けよりも先に、考え方の違いを押さえることが近道です。
判定基準はひとつしかありません。
選んだ結果を並べ替えたとき、それが別の答えとして数えられるかどうかです。
別の答えとして数えるなら順列、数えないなら組合せです。
例えば3人から2人を選んで会議室に案内する場合、誰が先に入るかを問わないなら組合せ。
一方、その2人に議長・副議長という役職を割り振るなら、同じ2人でも順序が意味を持つため順列になります。
公式の丸暗記だけに頼ると、この判断の場面で必ずつまずきます。
判定基準を先に体に入れておくことが、遠回りに見えて一番の近道。
公式そのものの覚え方は別記事で詳しく解説しているので、あわせて確認してみてください。
松尾講師順列nPrとは何かを樹形図で確認する
順列の公式nPrが表す意味
順列の公式nPrは、n個の中からr個を選んで並べる場合の数を表します。
nPr=n×(n-1)×…×(n-r+1)という式ですが、丸暗記する前に成り立ちを知っておくと忘れにくくなります。
コム大の講座で基本方針としているのが、樹形図です。
場合の数の計算は、すべてこの樹形図がベースになっているという考え方です。
対象を1つずつ選び、枝分かれさせながら並べ方を目で確認する図、それが樹形図。
nPrという式は、この枝分かれの回数を掛け算でまとめたものにすぎません。
樹形図で並べ方を数えてみる
実際に樹形図を描いて確認してみましょう。
1、2、3の3つの数字を並べる場合を考えます。
- 最初の位置は1、2、3のどれかで3通り。
- 2番目の位置は残り2つのうちどちらかで2通り。
- 3番目の位置は残った1つに決まります。
3×2×1で、並べ方は全部で6通りになります。
これが、樹形図の枝分かれを掛け算に置き換えたときの姿です。
松尾講師組合せnCrとは何か「かぶり」を割って求める
組合せは、順番を気にせず「何を選ぶか」だけを数える考え方です。
コム大の講座では「選び方」の導入として、4つの中から2つを選ぶ場面を例に説明しています。
ここで気をつけたいのが「かぶり」です。
例えば1と2を選ぶことと、2と1を選ぶことは、選び方としては同じ組み合わせ。
しかし単純に並べ方として数えると、1と2、2と1は別々の2通りとしてカウントされてしまいます。
この重複を、コム大の講座では「かぶりを割って除去する」という言い方で説明しています。
つまり、いったん順列として並べ方を数えたあとで、同じ組み合わせがダブっている分だけ割り算をするという考え方です。
2つを選ぶ場合はすべて2通りずつかぶっているため、2で割ります。
選ぶ個数が増えるほど、割る数もその個数分の階乗に増えていくのです。
この「並べてからかぶりを割る」という手順さえ押さえれば、組合せの公式は自然に導けます。
松尾講師問題文のこの言葉が出たら順列か組合せか
言い回しと判定結果の対応表
問題文には、順列か組合せかを判断するヒントになる言葉が含まれています。
代表的な言い回しと、判定の目安をまとめました。
断定できない設問もあるため、あくまで最初の判断材料として使ってください。
上の表はあくまで目安であり、問題文の文脈によって判定が変わる場合もあります。
判定に迷ったら樹形図に立ち返る
対応表だけでは判断しきれない問題文も存在します。
そうしたときは、樹形図の考え方に戻るのが確実です。
実際に少ない人数や少ない個数に置き換えて、具体的に書き出してみましょう。
例えば5人から3人を選ぶ設問で迷ったら、まず3人や2人程度の小さい数字に置き換えて樹形図を描いてみます。
同じ組み合わせが重複して数えられていないか、手を動かして確認すれば判定の誤りに気づけます。
時間がかかるようでも、本番前の演習段階ではこの手順を省略しないことが遠回りに見えて確実な対策です。
対応表や樹形図だけでは判断に迷う場面もあります。
そうしたときは、実際に問題を解きながら講師に直接質問できる場に触れてみるのもひとつの方法です。
松尾講師公務員試験のひっかけ 組合せに見えて実は順列
役職や順番が決まる配置は組合せに見えて順列
公務員試験の場合の数では、「選ぶ」という言葉に引っ張られて組合せと判断すると誤ることがあります。
典型的なのが、委員長や副委員長のように役職を割り振る設問です。
同じメンバーを選んでも、誰がどの役職に就くかで結果が変わるため、これは順列で数える必要があります。
「◯人を選ぶ」という言い回しだけで判定せず、選んだあとに役職や順番、配置場所の違いが生まれないかを必ず確認しましょう。
この一手間を挟むだけで、組合せに見えて実は順列という公務員試験特有のひっかけを避けられます。
受講生が実際にひっかかった出題パターン
地方上級や国家一般職の過去問では、役職決めや配置を伴う設問が典型的な出題パターンとして知られています。
例えば「5人から3人を選び、うち1人をリーダーにする」という設問は、人数だけ見ると組合せに思えます。
しかしリーダーという役割が加わった時点で、同じ3人でも誰がリーダーかで答えが変わってしまうのです。
つまりこの設問は順列の考え方で数える必要があるということです。
演習中にこの種の設問へ出会ったら、まず役割や順番の指定があるかを問題文から探す癖をつけておきましょう。
出題傾向をさらに詳しく知りたい人は、地方上級の数的処理の出題傾向を扱った記事もあわせて確認してみてください。
松尾講師同じものを含む場合の並べ方で判別が揺らぐケース
順列と組合せの判定がもうひとつ揺らぎやすいのが、同じものが含まれる並べ方です。
例えば「A、A、B、Cの4文字を並べる」という設問を考えてみましょう。
単純に4つを並べる順列の公式をそのまま使うと、数え過ぎてしまいます。
同じAどうしを入れ替えても見た目の並びは変わらないため、その重複分を割る必要があるためです。
このケースは組合せそのものではありませんが、「かぶりを割る」という考え方は先に確認した組合せの発想と共通しています。
同じ記号や同じ人数が複数含まれる設問を見たら、まず「区別できないものが何個あるか」を数える癖をつけておきましょう。
区別できない個数の階乗で割るという手順を踏めば、順列か組合せかで迷う場面でも整理しやすくなります。
松尾講師講師が使う一瞬で見分ける質問
順列と組合せの判定に加えて、コム大の講座で紹介されているのが、AND条件かOR条件かを問う質問です。
両方とも成り立つ必要があるか、それともどちらか一方で成り立てばよいかを自分に問いかける方法です。
コム大の講座では、両方が同時に成り立つ場合を「掛け算タイプ」と言い換えて説明しています。
どちらか一方でよい場合は「足し算タイプ」です。
例えばサイコロAとサイコロBを振る場合、Aの出目とBの出目は両方が決まって初めて1つの結果になるため、掛け算で数えます。
一方、1回目の作業でも2回目の作業でもどちらでもよいという場面は、選択肢どうしを足し算でまとめます。
この質問は、順列と組合せそのものの判定とは別の切り口ですが、場合の数の設問全体を整理するときに役立つ視点です。
問題文を読んで判断に迷ったら、両方必要かどちらかでよいかも合わせて確認してみてください。
松尾講師まとめ 順序が変わるかで見分ければ迷わない
順列と組合せの判定基準は、最初から最後まで変わりません。
問題文に「選んだ結果の順序が答えに影響するかどうか」を当てはめれば、この一点だけで判断できます。
問題文の言葉に振り回されそうになったら、対応表と樹形図に立ち返ってください。
同じものを含む並べ方のように判定が揺らぎやすい場面も、判定基準さえぶれなければ対応できます。
場合の数をグループ化して数える隣り合う配置の解き方は、別記事でも扱っているのであわせて確認してみてください。
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